Interactions between quasiregular- and BLD-mappings

Permalink

University of Helsinki, Faculty of Science, Department of Mathematics and Statistics

Thesis level:

Doctoral dissertation (article-based)

Abstract:

In this dissertation we study the theory of quasiregular- and BLD-mappings. The unifying theme of the dissertation is how results and techniques used in the study of one of these classes gives rise to ideas in the theory of the other.
The first paper in the thesis concerns the theory of quasiregular mappings, which are non-homeomorphic generalizations of quasiconformal mappings; heuristically quasiregular mappings can be defined as mappings that map infinitesimal balls to infinitesimal ellipsoids with a bound on the eccentricity of the ellipsoid. The first article is especially focused on quasiregularly elliptic manifolds, i.e. those closed Riemannian manifolds for which there exists a non-constant quasiregular mapping from the euclidean space of same dimension to the manifold. The classes of quasiregularly elliptic 2- and 3-manifolds are classified up to a quasiconformal homeomorphism. In higher dimensions it is still a widely open question which closed manifolds are quasiregularly elliptic, but even though a complete classification of quasiregularly elliptic manifolds is hard, there are results restricting the structure of quasiregulary elliptic manifolds. One of the basic results is the Varopoulos theorem that gives an upper bound to the growth rate of the fundamental group of a quasiregularly elliptic manifold. The main result of the first paper is that if the growth rate of the fundamental group of a quasiregularly elliptic manifold is as large as possible, then the manifold is in fact a finite quotient of a torus.
Mappings of bounded length distorion, BLD-mappings for short, were first defined by Martio and Väisälä in 1988 in euclidean domains as a subclass of quasiregular mappings. Even though the original defintion of BLD-mappings was analytical, Martio and Väisälä showed that there exists also a definition with a more metric flavor. Indeed, BLD-mappings can be defined as those open, continuous and discrete mappings that preserve the length of all paths up to a uniform multiplicative constant. This definition lends itself to all (path-)metric spaces, and in the latter two articles of the thesis we study which classical results of euclidean BLD- or quasiregular mappings can be proven in the setting of locally compact and complete path-metric spaces.Väitöskirja käsittelee klassisen kompleksianalyysin moderneista yleistyksistä syntynyttä teoriaa. Kompleksitason alueessa määritellyn kompleksianalyyttisen kuvauksen eräs perustavanlaatuisista ominaisuuksista on, että sen derivaattakuvaus kuvaa origokeskiset ympyrät ympyröiksi. Heuristisesti tilannetta voi kuvailla sanomalla, että kompleksianalyyttinen kuvaus säilyttää skaalausta vaille kompleksitason infinitesimaalisen geometrian. Tämän heuristiikan innoittamana voi lähestyä työssä käsiteltäviä kvasisäännöllisiä- sekä BLD-kuvauksia, jotka kummatkin säilyttävät, pienessä skaalassa, kuulien rakenteen tiettyjä rakennevakioita vaille.
Työn kolme artikkelia käsittelevät kvasisäännöllisten- ja BLD-kuvausten rakennetta sekä niiden muodostamien kuvausperheiden ominaisuuksia. Ensimmäisen artikkelin päätulosten motivaationa oli näyttää että eräät euklidisten BLD-kuvausten ominaisuudet pätevät heikommassa muodossa myös yleisemmille kvasisäännöllisille kuvauksille. Kahden jälkimmäisen artikkelin tulokset puolestana kumpuavat halusta todistaa euklidisille kvasisäännöllisille kuvauksille tunnettuja tuloksia metristen avaruuksien välillä määritellyille BLD-kuvauksille. Yhdistävänä teemana artikkeleissa onkin käyttää ristiin kvasisäännöllisten- ja BLD-kuvausten teorian ideoita. Työn johdannossa selvitetään teorian taustaa sekä historiaa ja paneudutaan tarkemmin työssä tarkasteltavien kysymyksien motivaatioon sekä yhteyksiin.