#[What is the derivative?][¿Qué es la derivada?]#

#[If some quantity is changing with time (for instance, the height of a launch vehicle blasting off into space, the value of the Dow Jones index, or your position along a highway) then its derivative at each instant of time is just its velocity at that instant ot time. Some quick examples:][Si alguna cantidad está cambiando con el tiempo (por ejemplo, la altura de un vehículo de lanzamiento despegando hacia el espacio, el valor del índice Dow Jones, o tu posición a lo largo de una carretera) entonces su derivada en cada instante de tiempo es nada más que su velocidad en ese instante de tiempo. Algunas ejemplos rápidos:]#

#[If a launch vehicle is currently rising at a rate of 100 meters per second, then the derivative of its height is the current velocity: $100$ m/s.][Si un vehículo de lanzamiento está subiendo a razón de 100 metros por segundo, entonces la derivada de su altura es la velocidad actual: 100 m/s.]#

#[If, at the moment, you are 20 miles along the highway and your position along the highway is increasing at a rate of 80 miles per hour, then its derivative at this moment is your current velocity: $80$ mph. The speedometer is the handy instrument that measures this derivative.][Si, en este momento, estás 20 millas a lo largo de una carretera y tu posición a lo largo de la carretera está aumentando a una razón de 80 millas por hora, entonces su derivada en este momento es tu velocidad actual: $80$ mph. El velocímetro es el instrumento práctico que mide esta derivada.]#

#[The derivative of a quantity at an instant of time is usually referred to as its instantaneous rate of change at that instant; the term "velocity" is traditionaly preferred only in the context of motion.][la derivativa de una cantidad en un instante del tiempo se normalmente conoce como su razón instantñea de cambio en ese instante; el término "velocidad" se prefiere tradicionalmente sólo en el contexto de movimiento.]#

#[You are based in Indonesia, and you monitor the value of the US Dollar on the foreign exchange market very closely during a rather active five-day period. Suppose you find that the value of one US Dollar can be well approximated by the function

%Q #[The discussion so far is all very well, but how do we caculate derivatives? All we know how to actually calculate up to now are average rates of change over intervals; not instantaneous rates at single points.][La discusión hasta ahora está muy bien, pero ¿cómo calculamos derivadas? Todo que conocemos calcular realmente hasta ahora son razones promedio de cambio durante intervalos; no razón instantñeas de cambio en puntos solos.]#
%A #[The trick—and this simple trick is one of the great intellectual breakthroughs that led to the discovery of calculus—is to consider the rates of change over smaller and smaller intervals. As an example, let's look again at the above function giving the value of the dollar in rupiahs at time $t$ days since Monday at noon:][El truco—y este sencillo truco es uno de los grandes avances intelectuales que llevó al descubrimiento del cálculo—es considerar razones de cambio durante intervalos más y más cortos. Como un ejemplo, vamos a mirar de nuevo la función anterior dando el valor del dólar en rupias en el tiempo $t$ días a partir del mediodía el lunes:]#

#[To compute these average rates of change (similar to what we did in the last example of the average rates of change tutorial) you can use the following little utility that computes the average rate of change of any function of $x$ or $t$ over any interval. Enter the technology formula for $R(t)$ in the formula box below, and the values for the end-points $a = %13$ and $b = %13 + h$ using the various values of $h:$][Para calcular estas razones promedio de cambio (similar a lo que hicimos en el último ejemplo de la tutorial sobre razones promedio de cambio) puedes utilizar la siguiente pequeña utilidad que calcula la razón promedio de cambio de cualquier función de $x$ o $t$ sobre cualquier intervalo. Ingresa la formula tecnología para $R(t)$ en al cuadro de fórmula, y los valores de los puntos extremos $a = %13$ y $b = %13 + h$ utilizando los varios valores de $h.$]#

#[The cost to manufacture $x$ dumbbell sets per day at the Taft Sports Factory is calculated to be][El costo de fabricar $x$ conjuntos de mancuernas a la Fábrica de Deporte Taft se calcula a ser]#

$%31$ #[dollars][dólares]#.

$f(x) =$
$a =$
$b =$

#[Average Rate of Change:][Razón promedio de cambio:]#

#[ ][ ]#

#[Quick approximation of the derivative][Aproximación rápida de la derivada.]#

%Q #[Do we always need to make tables of difference quotients as above in order to calculate an approximate value for the derivative? ][iquest;És siempre necesario construir una tabla de valores de cocientes de las diferencias como arriba cada vez queremos estimar la derivada?]#
%A #[We can usually approximate the value of the derivative by using a single, small, value of $h.$ In the example above, the value $h = 0.0001$ would have given a pretty good approximation. The problems with using a fixed value of $h$ are that (1) we do not get an exact answer, only an approximationof the derivative, and (2) how good an approximation it is depends on the function we're differentiating. However, with many of the functions you encounter, it is a good enough approximation.][Frecuentemente podemos aproximar el valor de la derivada por uso de un solo y pequeño valor de $h.$ En el ejemplo más arriba, el valor $h = 0.0001$ hubiera dado una aproximación bastante buena. Los problemas usando un valor fijado de $h$ son (1) No obtenemos un valor exacto para la derivada; solo una aproximación de la derivada, y (2) el grado de precisión depende de la función a la que estamos diferenciando. Sin embargo, con muchas de las funciones que consideramos, está bastante exacto.]#

#[Calculating a quick approximation of the derivative][Calculación de una aproximación rápida de la derivada]#

#[The following two formulas are often used to calculate an approximate value of $f(a):$][Las siguientes dos fórmulas se utiliza frecuentemente para calcular un valor aproximado de $f(a):$]#