Power Sum Expressions for 4 to 512

Draft (Currently complete through 128, partial to 512)

Any integer n can be expressed as a sum of kth powers. You might know the most famous example, 1729, which can be expressed as a sum of two cubes in two different ways, 10^3 + 9^3 and 12^3 + 1^3. It can also be expressed as 1^3 + 1^3 + 1^3 + 1^3 + 1^3 + 1^3 + 1^3 + 1^3 + ... + 1^3, that is, 1^3 added up 1729 times. On this page, solutions like that will be abbreviated in the form x(y^z), so our example would be 1729(1^3).

For some integers, n(1^k) is the only available solution, specifically, for all n < 2^k. For all others, a solution of much fewer kth powers than n is available. In the table below, I've tried to find the solution using the fewest powers. Solutions of the form n(1^k) are implied when a given cell is blank. In the draft version, some cells will show things like "^3 + ^3" because I haven't gotten around to filling them in.

n

Σx^2

Σx^3

Σx^4

Σx^5

Σx^6

Σx^7

Σx^8

4

2^2

5

2^2 + 1^2

6

2^2 + 2(1^2)

7

2^2 + 3(1^2)

8

2(2^2)

2^3

9

3^2

2^3 + 1^3

10

3^2 + 1^2

2^3 + 2(1^3)

11

3^2 + 2(1^2)

2^3 + 3(1^3)

12

3(2^2)

2^3 + 4(1^3)

13

3^2 + 2^2

2^3 + 5(1^3)

14

3^2 + 2^2 + 1^2

2^3 + 6(1^3)

15

3^2 + 2^2 + 2(1^2)

2^3 + 7(1^3)

16

4^2

2(2^3)

2^4

17

4^2 + 1^2

2(2^3) + 1^3

2^4 + 1^4

18

2(3^2)

2(2^3) + 2(1^3)

2^4 + 2(1^4)

19

2(3^2) + 1^2

2(2^3) + 3(1^3)

2^4 + 3(1^4)

20

4^2 + 2^2

2(2^3) + 4(1^3)

2^4 + 4(1^4)

21

4^2 + 2^2 + 1^2

2(2^3) + 5(1^3)

2^4 + 5(1^4)

22

2(3^2) + 2^2

2(2^3) + 6(1^3)

2^4 + 6(1^4)

23

2(3^2) + 2^2 + 1^2

2(2^3) + 7(1^3)

2^4 + 7(1^4)

24

4^2 + 2(2^2)

3(2^3)

2^4 + 8(1^4)

25

5^2

3(2^3) + 1^3

2^4 + 9(1^4)

26

5^2 + 1^2

3(2^3) + 2(1^3)

2^4 + 10(1^4)

27

5^2 + 2(1^2)

3^3

2^4 + 11(1^4)

28

5^2 + 3(1^2)

3^3 + 1^3

2^4 + 12(1^4)

29

5^2 + 2^2

3^3 + 2(1^3)

2^4 + 13(1^4)

30

5^2 + 2^2 + 1^2

3^3 + 3(1^3)

2^4 + 14(1^4)

31

5^2 + 2^2 + 2(1^2)

3^3 + 4(1^3)

2^4 + 15(1^4)

32

2(4^2)

4(2^3)

2(2^4)

2^5

33

2(4^2) + 1^2

4(2^3) + 1^3

2(2^4) + 1^4

2^5 + 1^5

34

5^2 + 3^2

4(2^3) + 2(1^3)

2(2^4) + 2(1^4)

2^5 + 2(1^5)

35

5^2 + 3^2 + 1^2

3^3 + 2^3

2(2^4) + 3(1^4)

2^5 + 3(1^5)

36

6^2

3^3 + 2^3 + 1^3

2(2^4) + 4(1^4)

2^5 + 4(1^5)

37

6^2 + 1^2

3^3 + 2^3 + 2(1^3)

2(2^4) + 5(1^4)

2^5 + 5(1^5)

38

5^2 + 3^2 + 2^2

3^3 + 2^3 + 3(1^3)

2(2^4) + 6(1^4)

2^5 + 6(1^5)

39

5^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2

3^3 + 2^3 + 4(1^3)

2(2^4) + 7(1^4)

2^5 + 7(1^5)

40

6^2 + 2^2

5(2^3)

2(2^4) + 8(1^4)

2^5 + 8(1^5)

41

5^2 + 4^2

5(2^3) + 1^3

2(2^4) + 9(1^4)

2^5 + 9(1^5)

42

5^2 + 4^2 + 1^2

5(2^3) + 2(1^3)

2(2^4) + 10(1^4)

2^5 + 10(1^5)

43

5^2 + 2(3^2)

3^3 + 2(2^3)

2(2^4) + 11(1^4)

2^5 + 11(1^5)

44

6^2 + 2(2^2)

3^3 + 2(2^3) + 1^3

2(2^4) + 12(1^4)

2^5 + 12(1^5)

45

6^2 + 3^2

3^3 + 2(2^3) + 2(1^3)

2(2^4) + 13(1^4)

2^5 + 13(1^5)

46

6^2 + 3^2 + 1^2

3^3 + 2(2^3) + 3(1^3)

2(2^4) + 14(1^4)

2^5 + 14(1^5)

47

6^2 + 3^2 + 2(1^2)

3^3 + 2(2^3) + 4(1^3)

2(2^4) + 15(1^4)

2^5 + 15(1^5)

48

3(4^2)

6(2^3)

3(2^4)

2^5 + 16(1^5)

49

7^2

6(2^3) + 1^3

3(2^4) + 1^4

2^5 + 17(1^5)

50

2(5^2)

6(2^3) + 2(1^3)

3(2^4) + 2(1^4)

2^5 + 18(1^5)

51

7^2 + 2(1^2)

3^3 + 3(2^3)

3(2^4) + 3(1^4)

2^5 + 19(1^5)

52

6^2 + 4^2

3^3 + 3(2^3) + 1^3

3(2^4) + 4(1^4)

2^5 + 20(1^5)

53

7^2 + 2^2

3^3 + 3(2^3) + 2(1^3)

3(2^4) + 5(1^4)

2^5 + 21(1^5)

54

6^2 + 2(3^2)

2(3^3)

3(2^4) + 6(1^4)

2^5 + 22(1^5)

55

7^2 + 2^2 + 2(1^2)

2(3^3) + 1^3

3(2^4) + 7(1^4)

2^5 + 23(1^5)

56

6^2 + 4^2 + 2^2

7(2^3)

3(2^4) + 8(1^4)

2^5 + 24(1^5)

57

7^2 + 2(2^2)

2(3^3) + 3(1^3)

3(2^4) + 9(1^4)

2^5 + 25(1^5)

58

7^2 + 3^2

2(3^3) + 4(1^3)

3(2^4) + 10(1^4)

2^5 + 26(1^5)

59

2(5^2) + 3^2

2(3^3) + 5(1^3)

3(2^4) + 11(1^4)

2^5 + 27(1^5)

60

2(5^2) + 3^2 + 1^2

2(3^3) + 6(1^3)

3(2^4) + 12(1^4)

2^5 + 28(1^5)

61

6^2 + 5^2

3^3 + 4(2^3) + 2(1^3)

3(2^4) + 13(1^4)

2^5 + 29(1^5)

62

7^2 + 3^2 + 2^2

2(3^3) + 2^3

3(2^4) + 14(1^4)

2^5 + 30(1^5)

63

6^2 + 3(3^2)

2(3^3) + 2^3 + 1^3

3(2^4) + 15(1^4)

2^5 + 31(1^5)

64

8^2

4^3

4(2^4)

2(2^5)

2^6

65

7^2 + 4^2

4^3 + 1^3

4(2^4)

2(2^5) + 1^5

2^6 + 1^6

66

2(5^2) + 4^2

4^3 + 2(1^3)

4(2^4) + 2(1^4)

2(2^5) + 2(1^5)

2^6 + 2(1^6)

67

7^2 + 2(3^2)

4^3 + 3(1^3)

4(2^4) + 3(1^4)

2(2^5) + 3(1^5)

2^6 + 3(1^6)

68

8^2 + 2^2

4^3 + 4(1^3)

4(2^4) + 4(1^4)

2(2^5) + 4(1^5)

2^6 + 4(1^6)

69

7^2 + 4^2 + 2^2

4^3 + 5(1^3)

4(2^4) + 5(1^4)

2(2^5) + 5(1^5)

2^6 + 5(1^6)

70

6^2 + 5^2 + 3^2

2(3^3) + 2(2^3)

4(2^4) + 6(1^4)

2(2^5) + 6(1^5)

2^6 + 6(1^6)

71

6^2 + 5^2 + 3^2 + 1^2

2(3^3) + 2(2^3) + 1^3

4(2^4) + 7(1^4)

2(2^5) + 7(1^5)

2^6 + 7(1^6)

72

2(6^2)

4^3 + 2^3

4(2^4) + 8(1^4)

2(2^5) + 8(1^5)

2^6 + 8(1^6)

73

8^2 + 3^2

4^3 + 2^3 + 1^3

4(2^4) + 9(1^4)

2(2^5) + 9(1^5)

2^6 + 9(1^6)

74

7^2 + 5^2

4^3 + 2^3 + 2(1^3)

4(2^4) + 10(1^4)

2(2^5) + 10(1^5)

2^6 + 10(1^6)

75

3(5^2)

4^3 + 2^3 + 3(1^3)

4(2^4) + 11(1^4)

2(2^5) + 11(1^5)

2^6 + 11(1^6)

76

2(6^2) + 2^2

4^3 + 2^3 + 4(1^3)

4(2^4) + 12(1^4)

2(2^5) + 12(1^5)

2^6 + 12(1^6)

77

8^2 + 3^2 + 2^2

4^3 + 2^3 + 5(1^3)

4(2^4) + 13(1^4)

2(2^5) + 13(1^5)

2^6 + 13(1^6)

78

7^2 + 5^2 + 2^2

2(3^3) + 3(2^3)

4(2^4) + 14(1^4)

2(2^5) + 14(1^5)

2^6 + 14(1^6)

79

7^2 + 5^2 + 2^2 + 1^2

2(3^3) + 3(2^3) + 1^3

4(2^4) + 15(1^4)

2(2^5) + 15(1^5)

2^6 + 15(1^6)

80

8^2 + 4^2

4^3 + 2(2^3)

5(2^4)

2(2^5) + 16(1^5)

2^6 + 16(1^6)

81

9^2

3(3^3)

3^4

2(2^5) + 17(1^5)

2^6 + 17(1^6)

82

9^2 + 1^2

3(3^3) + 1^3

3^4 + 1^4

2(2^5) + 18(1^5)

2^6 + 18(1^6)

83

7^2 + 5^2 + 3^2

3(3^3) + 2(1^3)

3^4 + 2(1^4)

2(2^5) + 19(1^5)

2^6 + 19(1^6)

84

8^2 + 4^2 + 2^2

3(3^3) + 3(1^3)

3^4 + 3(1^4)

2(2^5) + 20(1^5)

2^6 + 20(1^6)

85

9^2 + 2^2

3(3^3) + 4(1^3)

3^4 + 4(1^4)

2(2^5) + 21(1^5)

2^6 + 21(1^6)

86

6^2 + 2(5^2)

3(3^3) + 5(1^3)

3^4 + 5(1^4)

2(2^5) + 22(1^5)

2^6 + 22(1^6)

87

7^2 + 5^2 + 3^2 + 2^2

2(3^3) + 4(2^3) + 1^3

3^4 + 6(1^4)

2(2^5) + 23(1^5)

2^6 + 23(1^6)

88

2(6^2) + 4^2

4^3 + 3(2^3)

3^4 + 7(1^4)

2(2^5) + 24(1^5)

2^6 + 24(1^6)

89

8^2 + 5^2

3(3^3) + 2^3

3^4 + 8(1^4)

2(2^5) + 25(1^5)

2^6 + 25(1^6)

90

9^2 + 3^2

3(3^3) + 2^3 + 1^3

3^4 + 9(1^4)

2(2^5) + 26(1^5)

2^6 + 26(1^6)

91

9^2 + 3^2 + 1^2

4^3 + 3^3

3^4 + 10(1^4)

2(2^5) + 27(1^5)

2^6 + 27(1^6)

92

2(6^2) + 4^2 + 2^2

4^3 + 3^3 + 1^3

3^4 + 11(1^4)

2(2^5) + 28(1^5)

2^6 + 28(1^6)

93

8^2 + 5^2 + 2^2

4^3 + 3^3 + 2(1^3)

3^4 + 12(1^4)

2(2^5) + 29(1^5)

2^6 + 29(1^6)

94

9^2 + 3^2 + 2^2

4^3 + 3^3 + 3(1^3)

3^4 + 13(1^4)

2(2^5) + 30(1^5)

2^6 + 30(1^6)

95

9^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2

4^3 + 3^3 + 4(1^3)

3^4 + 14(1^4)

2(2^5) + 31(1^5)

2^6 + 31(1^6)

96

8^2 + 2(4^2)

4^3 + 4(2^3)

6(2^4)

3(2^5)

2^6 + 32(1^6)

97

9^2 + 4^2

4^3 + 4(2^3) + 1^3

3^4 + 2^4

3(2^5) + 1^5

2^6 + 33(1^6)

98

2(7^2)

4^3 + 4(2^3) + 2(1^3)

6(2^4) + 2(1^4)

3(2^5) + 2(1^5)

2^6 + 34(1^6)

99

2(7^2) + 1^2

4^3 + 3^3 + 2^3

6(2^4) + 3(1^4)

3(2^5) + 3(1^5)

2^6 + 35(1^6)

100

10^2

4^3 + 3^3 + 2^3 + 1^3

6(2^4) + 4(1^4)

3(2^5) + 4(1^5)

2^6 + 36(1^6)

101

10^2 + 1^2

4^3 + 3^3 + 2^3 + 2(1^3)

6(2^4) + 5(1^4)

3(2^5) + 5(1^5)

2^6 + 37(1^6)

102

2(7^2) + 2^2

4^3 + 3^3 + 2^3 + 3(1^3)

6(2^4) + 6(1^4)

3(2^5) + 6(1^5)

2^6 + 38(1^6)

103

2(7^2) + 2^2 + 1^2

4^3 + 3^3 + 2^3 + 4(1^3)

6(2^4) + 7(1^4)

3(2^5) + 7(1^5)

2^6 + 39(1^6)

104

10^2 + 2^2

4^3 + 5(2^3)

6(2^4) + 8(1^4)

3(2^5) + 8(1^5)

2^6 + 40(1^6)

105

8^2 + 5^2 + 4^2

3(3^3) + 3(2^3)

3^4 + 2^4 + 8(1^4)

3(2^5) + 9(1^5)

2^6 + 41(1^6)

106

9^2 + 5^2

3(3^3) + 3(2^3) + 1^3

3^4 + 2^4 + 9(1^4)

3(2^5) + 10(1^5)

2^6 + 42(1^6)

107

2(7^2) + 3^2

3(3^3) + 3(2^3) + 2(1^3)

3^4 + 2^4 + 10(1^4)

3(2^5) + 11(1^5)

2^6 + 43(1^6)

108

10^2 + 2(2^2)

4(3^3)

3^4 + 2^4 + 11(1^4)

3(2^5) + 12(1^5)

2^6 + 44(1^6)

109

10^2 + 3^2

4(3^3) + 1^3

3^4 + 2^4 + 12(1^4)

3(2^5) + 13(1^5)

2^6 + 45(1^6)

110

9^2 + 5^2 + 2^2

4(3^3) + 2(1^3)

3^4 + 2^4 + 13(1^4)

3(2^5) + 14(1^5)

2^6 + 46(1^6)

111

6^2 + 3(5^2)

4(3^3) + 3(1^3)

3^4 + 2^4 + 14(1^4)

3(2^5) + 15(1^5)

2^6 + 47(1^6)

112

10^2 + 3(2^2)

4^3 + 6(2^3)

7(2^4)

3(2^5) + 16(1^5)

2^6 + 48(1^6)

113

8^2 + 7^2

4^3 + 6(2^3) + 1^3

3^4 + 2(2^4)

3(2^5) + 17(1^5)

2^6 + 49(1^6)

114

8^2 + 2(5^2)

3(3^3) + 4(2^3) + 1^3

3^4 + 2(2^4) + 1^4

3(2^5) + 18(1^5)

2^6 + 50(1^6)

115

9^2 + 5^2 + 3^2

4^3 + 3^3 + 3(2^3)

3^4 + 2(2^4) + 2(1^4)

3(2^5) + 19(1^5)

2^6 + 51(1^6)

116

10^2 + 4^2

4^3 + 3^3 + 3(2^3) + 1^3

3^4 + 2(2^4) + 3(1^4)

3(2^5) + 20(1^5)

2^6 + 52(1^6)

117

9^2 + 6^2

4^3 + 3^3 + 3(2^3) + 2(1^3)

3^4 + 2(2^4) + 4(1^4)

3(2^5) + 21(1^5)

2^6 + 53(1^6)

118

9^2 + 6^2 + 1^2

4^3 + 2(3^3)

3^4 + 2(2^4) + 5(1^4)

3(2^5) + 22(1^5)

2^6 + 54(1^6)

119

7^2 + 6^2 + 5^2 + 3^2

4^3 + 2(3^3) + 1^3

3^4 + 2(2^4) + 6(1^4)

3(2^5) + 23(1^5)

2^6 + 55(1^6)

120

10^2 + 4^2 + 2^2

4^3 + 7(2^3)

3^4 + 2(2^4) + 7(1^4)

3(2^5) + 24(1^5)

2^6 + 56(1^6)

121

11^2

4^3 + 2(3^3) + 3(1^3)

3^4 + 2(2^4) + 8(1^4)

3(2^5) + 25(1^5)

2^6 + 57(1^6)

122

11^2 + 1^2

4^3 + 2(3^3) + 4(1^3)

3^4 + 2(2^4) + 9(1^4)

3(2^5) + 26(1^5)

2^6 + 58(1^6)

123

2(7^2) + 5^2

4^3 + 2(3^3) + 5(1^3)

3^4 + 2(2^4) + 10(1^4)

3(2^5) + 27(1^5)

2^6 + 59(1^6)

124

2(7^2) + 5^2 + 1^2

4(3^3) + 2(2^3)

3^4 + 2(2^4) + 11(1^4)

3(2^5) + 28(1^5)

2^6 + 60(1^6)

125

11^2 + 2^2

5^3

3^4 + 2(2^4) + 12(1^4)

3(2^5) + 29(1^5)

2^6 + 61(1^6)

126

9^2 + 6^2 + 3^2

5^3 + 1^3

3^4 + 2(2^4) + 13(1^4)

3(2^5) + 30(1^5)

2^6 + 62(1^6)

127

9^2 + 6^2 + 3^2 + 1^2

5^3 + 2(1^3)

3^4 + 2(2^4) + 14(1^4)

3(2^5) + 31(1^5)

2^6 + 63(1^6)

128

2(8^2)

2(4^3)

8(2^4)

4(2^5)

2(2^6)

2^7

129

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 1^5

2(2^6) + 1^6

2^7 + 1^7

130

9^2 + 7^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 2(1^5)

2(2^6) + 2(1^6)

2^7 + 2(1^7)

131

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 3(1^5)

2(2^6) + 3(1^6)

2^7 + 3(1^7)

132

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 4(1^5)

2(2^6) + 4(1^6)

2^7 + 4(1^7)

133

^2 + ^2

5^3 + 2^3

^4 + ^4

4(2^5) + 5(1^5)

2(2^6) + 5(1^6)

2^7 + 5(1^7)

134

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 6(1^5)

2(2^6) + 6(1^6)

2^7 + 6(1^7)

135

^2 + ^2

5(3^3)

^4 + ^4

4(2^5) + 7(1^5)

2(2^6) + 7(1^6)

2^7 + 7(1^7)

136

10^2 + 6^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 8(1^5)

2(2^6) + 8(1^6)

2^7 + 8(1^7)

137

11^2 + 4^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 9(1^5)

2(2^6) + 9(1^6)

2^7 + 9(1^7)

138

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 10(1^5)

2(2^6) + 10(1^6)

2^7 + 10(1^7)

139

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 11(1^5)

2(2^6) + 11(1^6)

2^7 + 11(1^7)

140

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 12(1^5)

2(2^6) + 12(1^6)

2^7 + 12(1^7)

141

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 13(1^5)

2(2^6) + 13(1^6)

2^7 + 13(1^7)

142

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 14(1^5)

2(2^6) + 14(1^6)

2^7 + 14(1^7)

143

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 15(1^5)

2(2^6) + 15(1^6)

2^7 + 15(1^7)

144

12^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 16(1^5)

2(2^6) + 16(1^6)

2^7 + 16(1^7)

145

9^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 17(1^5)

2(2^6) + 17(1^6)

2^7 + 17(1^7)

146

11^2 + 5^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 18(1^5)

2(2^6) + 18(1^6)

2^7 + 18(1^7)

147

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 19(1^5)

2(2^6) + 19(1^6)

2^7 + 19(1^7)

148

12^2 + 2^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 20(1^5)

2(2^6) + 20(1^6)

2^7 + 20(1^7)

149

10^2 + 7^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 21(1^5)

2(2^6) + 21(1^6)

2^7 + 21(1^7)

150

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 22(1^5)

2(2^6) + 22(1^6)

2^7 + 22(1^7)

151

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 23(1^5)

2(2^6) + 23(1^6)

2^7 + 23(1^7)

152

^2 + ^2

5^3 + 3^3

^4 + ^4

4(2^5) + 24(1^5)

2(2^6) + 24(1^6)

2^7 + 24(1^7)

153

12^2 + 3^2

1^3 + 5^3 + 3^3

^4 + ^4

4(2^5) + 25(1^5)

2(2^6) + 25(1^6)

2^7 + 25(1^7)

154

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 26(1^5)

2(2^6) + 26(1^6)

2^7 + 26(1^7)

155

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 27(1^5)

2(2^6) + 27(1^6)

2^7 + 27(1^7)

156

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 28(1^5)

2(2^6) + 28(1^6)

2^7 + 28(1^7)

157

11^2 + 6^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 29(1^5)

2(2^6) + 29(1^6)

2^7 + 29(1^7)

158

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 30(1^5)

2(2^6) + 30(1^6)

2^7 + 30(1^7)

159

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

4(2^5) + 31(1^5)

2(2^6) + 31(1^6)

2^7 + 31(1^7)

160

12^2 + 4^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5)

2(2^6) + 32(1^6)

2^7 + 32(1^7)

161

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 1^5

2(2^6) + 33(1^6)

2^7 + 33(1^7)

162

2(9^2)

6(3^3)

2(3^4)

5(2^5) + 2(1^5)

2(2^6) + 34(1^6)

2^7 + 34(1^7)

163

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 3(1^5)

2(2^6) + 35(1^6)

2^7 + 35(1^7)

164

10^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 4(1^5)

2(2^6) + 36(1^6)

2^7 + 36(1^7)

165

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 5(1^5)

2(2^6) + 37(1^6)

2^7 + 37(1^7)

166

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 6(1^5)

2(2^6) + 38(1^6)

2^7 + 38(1^7)

167

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 7(1^5)

2(2^6) + 39(1^6)

2^7 + 39(1^7)

168

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 8(1^5)

2(2^6) + 40(1^6)

2^7 + 40(1^7)

169

13^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 9(1^5)

2(2^6) + 41(1^6)

2^7 + 41(1^7)

170

11^2 + 7^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 10(1^5)

2(2^6) + 42(1^6)

2^7 + 42(1^7)

171

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 11(1^5)

2(2^6) + 43(1^6)

2^7 + 43(1^7)

172

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 12(1^5)

2(2^6) + 44(1^6)

2^7 + 44(1^7)

173

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 13(1^5)

2(2^6) + 45(1^6)

2^7 + 45(1^7)

174

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 14(1^5)

2(2^6) + 46(1^6)

2^7 + 46(1^7)

175

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 15(1^5)

2(2^6) + 47(1^6)

2^7 + 47(1^7)

176

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 16(1^5)

2(2^6) + 48(1^6)

2^7 + 48(1^7)

177

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 17(1^5)

2(2^6) + 49(1^6)

2^7 + 49(1^7)

178

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 18(1^5)

2(2^6) + 50(1^6)

2^7 + 50(1^7)

179

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 19(1^5)

2(2^6) + 51(1^6)

2^7 + 51(1^7)

180

12^2 + 6^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 20(1^5)

2(2^6) + 52(1^6)

2^7 + 52(1^7)

181

10^2 + 9^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 21(1^5)

2(2^6) + 53(1^6)

2^7 + 53(1^7)

182

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 22(1^5)

2(2^6) + 54(1^6)

2^7 + 54(1^7)

183

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 23(1^5)

2(2^6) + 55(1^6)

2^7 + 55(1^7)

184

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 24(1^5)

2(2^6) + 56(1^6)

2^7 + 56(1^7)

185

11^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 25(1^5)

2(2^6) + 57(1^6)

2^7 + 57(1^7)

186

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 26(1^5)

2(2^6) + 58(1^6)

2^7 + 58(1^7)

187

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 27(1^5)

2(2^6) + 59(1^6)

2^7 + 59(1^7)

188

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 28(1^5)

2(2^6) + 60(1^6)

2^7 + 60(1^7)

189

^2 + ^2

5^3 + 4^3

^4 + ^4

5(2^5) + 29(1^5)

2(2^6) + 61(1^6)

2^7 + 61(1^7)

190

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 30(1^5)

2(2^6) + 62(1^6)

2^7 + 62(1^7)

191

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

5(2^5) + 31(1^5)

2(2^6) + 63(1^6)

2^7 + 63(1^7)

192

^2 + ^2

3(4^3)

^4 + ^4

6(2^5)

3(2^6)

2^7 + 64(1^7)

193

12^2 + 7^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 1^5

3(2^6) + 1^6

2^7 + 65(1^7)

194

14^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 2(1^5)

3(2^6) + 2(1^6)

2^7 + 66(1^7)

195

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 3(1^5)

3(2^6) + 3(1^6)

2^7 + 67(1^7)

196

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 4(1^5)

3(2^6) + 4(1^6)

2^7 + 68(1^7)

197

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 5(1^5)

3(2^6) + 5(1^6)

2^7 + 69(1^7)

198

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 6(1^5)

3(2^6) + 6(1^6)

2^7 + 70(1^7)

199

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 7(1^5)

3(2^6) + 7(1^6)

2^7 + 71(1^7)

200

14^2 + 2^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 8(1^5)

3(2^6) + 8(1^6)

2^7 + 72(1^7)

201

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 9(1^5)

3(2^6) + 9(1^6)

2^7 + 73(1^7)

202

11^2 + 9^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 10(1^5)

3(2^6) + 10(1^6)

2^7 + 74(1^7)

203

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 11(1^5)

3(2^6) + 11(1^6)

2^7 + 75(1^7)

204

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 12(1^5)

3(2^6) + 12(1^6)

2^7 + 76(1^7)

205

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 13(1^5)

3(2^6) + 13(1^6)

2^7 + 77(1^7)

206

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 14(1^5)

3(2^6) + 14(1^6)

2^7 + 78(1^7)

207

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 15(1^5)

3(2^6) + 15(1^6)

2^7 + 79(1^7)

208

12^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 16(1^5)

3(2^6) + 16(1^6)

2^7 + 80(1^7)

209

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 17(1^5)

3(2^6) + 17(1^6)

2^7 + 81(1^7)

210

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 18(1^5)

3(2^6) + 18(1^6)

2^7 + 82(1^7)

211

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 19(1^5)

3(2^6) + 19(1^6)

2^7 + 83(1^7)

212

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 20(1^5)

3(2^6) + 20(1^6)

2^7 + 84(1^7)

213

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 21(1^5)

3(2^6) + 21(1^6)

2^7 + 85(1^7)

214

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 22(1^5)

3(2^6) + 22(1^6)

2^7 + 86(1^7)

215

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 23(1^5)

3(2^6) + 23(1^6)

2^7 + 87(1^7)

216

^2 + ^2

6^3

^4 + ^4

6(2^5) + 24(1^5)

3(2^6) + 24(1^6)

2^7 + 88(1^7)

217

^2 + ^2

6^3 + 1^3

^4 + ^4

6(2^5) + 25(1^5)

3(2^6) + 25(1^6)

2^7 + 89(1^7)

218

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 26(1^5)

3(2^6) + 26(1^6)

2^7 + 90(1^7)

219

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 27(1^5)

3(2^6) + 27(1^6)

2^7 + 91(1^7)

220

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 28(1^5)

3(2^6) + 28(1^6)

2^7 + 92(1^7)

221

11^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 29(1^5)

3(2^6) + 29(1^6)

2^7 + 93(1^7)

222

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 30(1^5)

3(2^6) + 30(1^6)

2^7 + 94(1^7)

223

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

6(2^5) + 31(1^5)

3(2^6) + 31(1^6)

2^7 + 95(1^7)

224

^2 + ^2

6^3 + 2^3

^4 + ^4

7(2^5)

3(2^6) + 32(1^6)

2^7 + 96(1^7)

225

15^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 1^5

3(2^6) + 33(1^6)

2^7 + 97(1^7)

226

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 2(1^5)

3(2^6) + 34(1^6)

2^7 + 98(1^7)

227

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 3(1^5)

3(2^6) + 35(1^6)

2^7 + 99(1^7)

228

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 4(1^5)

3(2^6) + 36(1^6)

2^7 + 100(1^7)

229

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 5(1^5)

3(2^6) + 37(1^6)

2^7 + 101(1^7)

230

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 6(1^5)

3(2^6) + 38(1^6)

2^7 + 102(1^7)

231

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 7(1^5)

3(2^6) + 39(1^6)

2^7 + 103(1^7)

232

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 8(1^5)

3(2^6) + 40(1^6)

2^7 + 104(1^7)

233

13^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 9(1^5)

3(2^6) + 41(1^6)

2^7 + 105(1^7)

234

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 10(1^5)

3(2^6) + 42(1^6)

2^7 + 106(1^7)

235

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 11(1^5)

3(2^6) + 43(1^6)

2^7 + 107(1^7)

236

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 12(1^5)

3(2^6) + 44(1^6)

2^7 + 108(1^7)

237

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 13(1^5)

3(2^6) + 45(1^6)

2^7 + 109(1^7)

238

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 14(1^5)

3(2^6) + 46(1^6)

2^7 + 110(1^7)

239

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 15(1^5)

3(2^6) + 47(1^6)

2^7 + 111(1^7)

240

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 16(1^5)

3(2^6) + 48(1^6)

2^7 + 112(1^7)

241

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 17(1^5)

3(2^6) + 49(1^6)

2^7 + 113(1^7)

242

2(11^2)

^3 + ^3

^4 + ^4

7(2^5) + 18(1^5)

3(2^6) + 50(1^6)

2^7 + 114(1^7)

243

^2 + ^2

6^3 + 3^3

^4 + ^4

3^5

3(2^6) + 51(1^6)

2^7 + 115(1^7)

244

12^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 1^5

3(2^6) + 52(1^6)

2^7 + 116(1^7)

245

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 2(1^5)

3(2^6) + 53(1^6)

2^7 + 117(1^7)

246

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 3(1^5)

3(2^6) + 54(1^6)

2^7 + 118(1^7)

247

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 4(1^5)

3(2^6) + 55(1^6)

2^7 + 119(1^7)

248

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 5(1^5)

3(2^6) + 56(1^6)

2^7 + 120(1^7)

249

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 6(1^5)

3(2^6) + 57(1^6)

2^7 + 121(1^7)

250

13^2 + 9^2

2(5^3)

^4 + ^4

3^5 + 7(1^5)

3(2^6) + 58(1^6)

2^7 + 122(1^7)

251

^2 + ^2

2(5^3) + 1^3

^4 + ^4

3^5 + 8(1^5)

3(2^6) + 59(1^6)

2^7 + 123(1^7)

252

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 9(1^5)

3(2^6) + 60(1^6)

2^7 + 124(1^7)

253

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 10(1^5)

3(2^6) + 61(1^6)

2^7 + 125(1^7)

254

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 11(1^5)

3(2^6) + 62(1^6)

2^7 + 126(1^7)

255

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 12(1^5)

3(2^6) + 63(1^6)

2^7 + 127(1^7)

256

16^2

4(4^3)

4^4

8(2^5)

4(2^6)

2(2^7)

2^8

257

^2 + ^2

4(4^3) + 1^3

4^4 + 1^4

^5 + ^5

4(2^6) + 1^6

2(2^7) + 1^7

2^8 + 1^8

258

^2 + ^2

2(5^3) + 2^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 2(1^6)

2(2^7) + 2(1^7)

2^8 + 2(1^8)

259

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 3(1^6)

2(2^7) + 3(1^7)

2^8 + 3(1^8)

260

14^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 4(1^6)

2(2^7) + 4(1^7)

2^8 + 4(1^8)

261

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 5(1^6)

2(2^7) + 5(1^7)

2^8 + 5(1^8)

262

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 6(1^6)

2(2^7) + 6(1^7)

2^8 + 6(1^8)

263

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 7(1^6)

2(2^7) + 7(1^7)

2^8 + 7(1^8)

264

^2 + ^2

4(4^3) + 2^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 8(1^6)

2(2^7) + 8(1^7)

2^8 + 8(1^8)

265

12^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 9(1^6)

2(2^7) + 9(1^7)

2^8 + 9(1^8)

266

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 10(1^6)

2(2^7) + 10(1^7)

2^8 + 10(1^8)

267

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 11(1^6)

2(2^7) + 11(1^7)

2^8 + 11(1^8)

268

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 12(1^6)

2(2^7) + 12(1^7)

2^8 + 12(1^8)

269

13^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 13(1^6)

2(2^7) + 13(1^7)

2^8 + 13(1^8)

270

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 14(1^6)

2(2^7) + 14(1^7)

2^8 + 14(1^8)

271

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 15(1^6)

2(2^7) + 15(1^7)

2^8 + 15(1^8)

272

^2 + ^2

^3 + ^3

4^4 + 2^4

^5 + ^5

4(2^6) + 16(1^6)

2(2^7) + 16(1^7)

2^8 + 16(1^8)

273

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 17(1^6)

2(2^7) + 17(1^7)

2^8 + 17(1^8)

274

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 18(1^6)

2(2^7) + 18(1^7)

2^8 + 18(1^8)

275

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 2^5

4(2^6) + 19(1^6)

2(2^7) + 19(1^7)

2^8 + 19(1^8)

276

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 2^5 + 1^5

4(2^6) + 20(1^6)

2(2^7) + 20(1^7)

2^8 + 20(1^8)

277

14^2 + 9^2

2(5^3) + 3^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 21(1^6)

2(2^7) + 21(1^7)

2^8 + 21(1^8)

278

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 22(1^6)

2(2^7) + 22(1^7)

2^8 + 22(1^8)

279

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 23(1^6)

2(2^7) + 23(1^7)

2^8 + 23(1^8)

280

^2 + ^2

6^3 + 4^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 24(1^6)

2(2^7) + 24(1^7)

2^8 + 24(1^8)

281

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 25(1^6)

2(2^7) + 25(1^7)

2^8 + 25(1^8)

282

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 26(1^6)

2(2^7) + 26(1^7)

2^8 + 26(1^8)

283

^2 + ^2

4(4^3) + 3^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 27(1^6)

2(2^7) + 27(1^7)

2^8 + 27(1^8)

284

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 28(1^6)

2(2^7) + 28(1^7)

2^8 + 28(1^8)

285

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 29(1^6)

2(2^7) + 29(1^7)

2^8 + 29(1^8)

286

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 30(1^6)

2(2^7) + 30(1^7)

2^8 + 30(1^8)

287

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 31(1^6)

2(2^7) + 31(1^7)

2^8 + 31(1^8)

288

2(12^2)

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 32(1^6)

2(2^7) + 32(1^7)

2^8 + 32(1^8)

289

17^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 33(1^6)

2(2^7) + 33(1^7)

2^8 + 33(1^8)

290

13^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 34(1^6)

2(2^7) + 34(1^7)

2^8 + 34(1^8)

291

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 35(1^6)

2(2^7) + 35(1^7)

2^8 + 35(1^8)

292

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 36(1^6)

2(2^7) + 36(1^7)

2^8 + 36(1^8)

293

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 37(1^6)

2(2^7) + 37(1^7)

2^8 + 37(1^8)

294

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 38(1^6)

2(2^7) + 38(1^7)

2^8 + 38(1^8)

295

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 39(1^6)

2(2^7) + 39(1^7)

2^8 + 39(1^8)

296

14^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 40(1^6)

2(2^7) + 40(1^7)

2^8 + 40(1^8)

297

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 41(1^6)

2(2^7) + 41(1^7)

2^8 + 41(1^8)

298

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 42(1^6)

2(2^7) + 42(1^7)

2^8 + 42(1^8)

299

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 43(1^6)

2(2^7) + 43(1^7)

2^8 + 43(1^8)

300

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 44(1^6)

2(2^7) + 44(1^7)

2^8 + 44(1^8)

301

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 45(1^6)

2(2^7) + 45(1^7)

2^8 + 45(1^8)

302

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 46(1^6)

2(2^7) + 46(1^7)

2^8 + 46(1^8)

303

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 47(1^6)

2(2^7) + 47(1^7)

2^8 + 47(1^8)

304

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 48(1^6)

2(2^7) + 48(1^7)

2^8 + 48(1^8)

305

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 49(1^6)

2(2^7) + 49(1^7)

2^8 + 49(1^8)

306

15^2 + 9^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 50(1^6)

2(2^7) + 50(1^7)

2^8 + 50(1^8)

307

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 2(2^5)

4(2^6) + 51(1^6)

2(2^7) + 51(1^7)

2^8 + 51(1^8)

308

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 52(1^6)

2(2^7) + 52(1^7)

2^8 + 52(1^8)

309

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 53(1^6)

2(2^7) + 53(1^7)

2^8 + 53(1^8)

310

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 54(1^6)

2(2^7) + 54(1^7)

2^8 + 54(1^8)

311

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 55(1^6)

2(2^7) + 55(1^7)

2^8 + 55(1^8)

312

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 56(1^6)

2(2^7) + 56(1^7)

2^8 + 56(1^8)

313

13^2 + 12^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 57(1^6)

2(2^7) + 57(1^7)

2^8 + 57(1^8)

314

^2 + ^2

2(5^3) + 4^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 58(1^6)

2(2^7) + 58(1^7)

2^8 + 58(1^8)

315

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 59(1^6)

2(2^7) + 59(1^7)

2^8 + 59(1^8)

316

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 60(1^6)

2(2^7) + 60(1^7)

2^8 + 60(1^8)

317

14^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 61(1^6)

2(2^7) + 61(1^7)

2^8 + 61(1^8)

318

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 62(1^6)

2(2^7) + 62(1^7)

2^8 + 62(1^8)

319

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

4(2^6) + 63(1^6)

2(2^7) + 63(1^7)

2^8 + 63(1^8)

320

16^2 + 8^2

5(4^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6)

2(2^7) + 64(1^7)

2^8 + 64(1^8)

321

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 1^6

2(2^7) + 65(1^7)

2^8 + 65(1^8)

322

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 2(1^6)

2(2^7) + 66(1^7)

2^8 + 66(1^8)

323

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 3(1^6)

2(2^7) + 67(1^7)

2^8 + 67(1^8)

324

18^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 4(1^6)

2(2^7) + 68(1^7)

2^8 + 68(1^8)

325

15^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 5(1^6)

2(2^7) + 69(1^7)

2^8 + 69(1^8)

326

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 6(1^6)

2(2^7) + 70(1^7)

2^8 + 70(1^8)

327

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 7(1^6)

2(2^7) + 71(1^7)

2^8 + 71(1^8)

328

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 8(1^6)

2(2^7) + 72(1^7)

2^8 + 72(1^8)

329

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 9(1^6)

2(2^7) + 73(1^7)

2^8 + 73(1^8)

330

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 10(1^6)

2(2^7) + 74(1^7)

2^8 + 74(1^8)

331

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 11(1^6)

2(2^7) + 75(1^7)

2^8 + 75(1^8)

332

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 12(1^6)

2(2^7) + 76(1^7)

2^8 + 76(1^8)

333

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 13(1^6)

2(2^7) + 77(1^7)

2^8 + 77(1^8)

334

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 14(1^6)

2(2^7) + 78(1^7)

2^8 + 78(1^8)

335

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 15(1^6)

2(2^7) + 79(1^7)

2^8 + 79(1^8)

336

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 16(1^6)

2(2^7) + 80(1^7)

2^8 + 80(1^8)

337

16^2 + 9^2

^3 + ^3

4^4 + 3^4

^5 + ^5

5(2^6) + 17(1^6)

2(2^7) + 81(1^7)

2^8 + 81(1^8)

338

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 18(1^6)

2(2^7) + 82(1^7)

2^8 + 82(1^8)

339

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 3(2^5)

5(2^6) + 19(1^6)

2(2^7) + 83(1^7)

2^8 + 83(1^8)

340

14^2 + 12^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 20(1^6)

2(2^7) + 84(1^7)

2^8 + 84(1^8)

341

^2 + ^2

6^3 + 5^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 21(1^6)

2(2^7) + 85(1^7)

2^8 + 85(1^8)

342

^2 + ^2

6^3 + 5^3 + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 22(1^6)

2(2^7) + 86(1^7)

2^8 + 86(1^8)

343

^2 + ^2

7^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 23(1^6)

2(2^7) + 87(1^7)

2^8 + 87(1^8)

344

^2 + ^2

7^3 + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 24(1^6)

2(2^7) + 88(1^7)

2^8 + 88(1^8)

345

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 25(1^6)

2(2^7) + 89(1^7)

2^8 + 89(1^8)

346

15^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 26(1^6)

2(2^7) + 90(1^7)

2^8 + 90(1^8)

347

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 27(1^6)

2(2^7) + 91(1^7)

2^8 + 91(1^8)

348

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 28(1^6)

2(2^7) + 92(1^7)

2^8 + 92(1^8)

349

^2 + ^2

6^3 + 5^3 + 2^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 29(1^6)

2(2^7) + 93(1^7)

2^8 + 93(1^8)

350

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 30(1^6)

2(2^7) + 94(1^7)

2^8 + 94(1^8)

351

^2 + ^2

7^3 + 2^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 31(1^6)

2(2^7) + 95(1^7)

2^8 + 95(1^8)

352

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 32(1^6)

2(2^7) + 96(1^7)

2^8 + 96(1^8)

353

17^2 + 8^2

^3 + ^3

4^4 + 3^4 + 2^4

^5 + ^5

5(2^6) + 33(1^6)

2(2^7) + 97(1^7)

2^8 + 97(1^8)

354

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 34(1^6)

2(2^7) + 98(1^7)

2^8 + 98(1^8)

355

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 35(1^6)

2(2^7) + 99(1^7)

2^8 + 99(1^8)

356

16^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 36(1^6)

2(2^7) + 100(1^7)

2^8 + 100(1^8)

357

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 37(1^6)

2(2^7) + 101(1^7)

2^8 + 101(1^8)

358

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 38(1^6)

2(2^7) + 102(1^7)

2^8 + 102(1^8)

359

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 39(1^6)

2(2^7) + 103(1^7)

2^8 + 103(1^8)

360

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 40(1^6)

2(2^7) + 104(1^7)

2^8 + 104(1^8)

361

19^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 41(1^6)

2(2^7) + 105(1^7)

2^8 + 105(1^8)

362

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 42(1^6)

2(2^7) + 106(1^7)

2^8 + 106(1^8)

363

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 43(1^6)

2(2^7) + 107(1^7)

2^8 + 107(1^8)

364

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 44(1^6)

2(2^7) + 108(1^7)

2^8 + 108(1^8)

365

14^2 + 13^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 45(1^6)

2(2^7) + 109(1^7)

2^8 + 109(1^8)

366

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 46(1^6)

2(2^7) + 110(1^7)

2^8 + 110(1^8)

367

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 47(1^6)

2(2^7) + 111(1^7)

2^8 + 111(1^8)

368

^2 + ^2

6^3 + 5^3 + 3^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 48(1^6)

2(2^7) + 112(1^7)

2^8 + 112(1^8)

369

15^2 + 12^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 49(1^6)

2(2^7) + 113(1^7)

2^8 + 113(1^8)

370

17^2 + 9^2

3^3 + 7^3 + 0^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 50(1^6)

2(2^7) + 114(1^7)

2^8 + 114(1^8)

371

^2 + ^2

3^3 + 7^3 + 1^3

^4 + ^4

3^5 + 4(2^5)

5(2^6) + 51(1^6)

2(2^7) + 115(1^7)

2^8 + 115(1^8)

372

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 52(1^6)

2(2^7) + 116(1^7)

2^8 + 116(1^8)

373

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 53(1^6)

2(2^7) + 117(1^7)

2^8 + 117(1^8)

374

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 54(1^6)

2(2^7) + 118(1^7)

2^8 + 118(1^8)

375

^2 + ^2

3(5^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 55(1^6)

2(2^7) + 119(1^7)

2^8 + 119(1^8)

376

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 56(1^6)

2(2^7) + 120(1^7)

2^8 + 120(1^8)

377

16^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 57(1^6)

2(2^7) + 121(1^7)

2^8 + 121(1^8)

378

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 58(1^6)

2(2^7) + 122(1^7)

2^8 + 122(1^8)

379

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 59(1^6)

2(2^7) + 123(1^7)

2^8 + 123(1^8)

380

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 60(1^6)

2(2^7) + 124(1^7)

2^8 + 124(1^8)

381

^2 + ^2

5^3 + 4(4^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 61(1^6)

2(2^7) + 125(1^7)

2^8 + 125(1^8)

382

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 62(1^6)

2(2^7) + 126(1^7)

2^8 + 126(1^8)

383

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

5(2^6) + 63(1^6)

2(2^7) + 127(1^7)

2^8 + 127(1^8)

384

^2 + ^2

6(4^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6)

3(2^7)

2^8 + 128(1^8)

385

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 1^6

3(2^7) + 1^7

2^8 + 129(1^8)

386

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 2(1^6)

3(2^7) + 2(1^7)

2^8 + 130(1^8)

387

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 3(1^6)

3(2^7) + 3(1^7)

2^8 + 131(1^8)

388

18^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 4(1^6)

3(2^7) + 4(1^7)

2^8 + 132(1^8)

389

17^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 5(1^6)

3(2^7) + 5(1^7)

2^8 + 133(1^8)

390

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 6(1^6)

3(2^7) + 6(1^7)

2^8 + 134(1^8)

391

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 7(1^6)

3(2^7) + 7(1^7)

2^8 + 135(1^8)

392

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 8(1^6)

3(2^7) + 8(1^7)

2^8 + 136(1^8)

393

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 9(1^6)

3(2^7) + 9(1^7)

2^8 + 137(1^8)

394

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 10(1^6)

3(2^7) + 10(1^7)

2^8 + 138(1^8)

395

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 11(1^6)

3(2^7) + 11(1^7)

2^8 + 139(1^8)

396

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 12(1^6)

3(2^7) + 12(1^7)

2^8 + 140(1^8)

397

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 13(1^6)

3(2^7) + 13(1^7)

2^8 + 141(1^8)

398

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 14(1^6)

3(2^7) + 14(1^7)

2^8 + 142(1^8)

399

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 15(1^6)

3(2^7) + 15(1^7)

2^8 + 143(1^8)

400

20^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 16(1^6)

3(2^7) + 16(1^7)

2^8 + 144(1^8)

401

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 17(1^6)

3(2^7) + 17(1^7)

2^8 + 145(1^8)

402

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 18(1^6)

3(2^7) + 18(1^7)

2^8 + 146(1^8)

403

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 5(2^5)

6(2^6) + 19(1^6)

3(2^7) + 19(1^7)

2^8 + 147(1^8)

404

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 20(1^6)

3(2^7) + 20(1^7)

2^8 + 148(1^8)

405

18^2 + 9^2

6^3 + 5^3 + 4^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 21(1^6)

3(2^7) + 21(1^7)

2^8 + 149(1^8)

406

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 22(1^6)

3(2^7) + 22(1^7)

2^8 + 150(1^8)

407

^2 + ^2

4^3 + 0^3 + 7^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 23(1^6)

3(2^7) + 23(1^7)

2^8 + 151(1^8)

408

^2 + ^2

7^3 + 4^3 + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 24(1^6)

3(2^7) + 24(1^7)

2^8 + 152(1^8)

409

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 25(1^6)

3(2^7) + 25(1^7)

2^8 + 153(1^8)

410

17^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 26(1^6)

3(2^7) + 26(1^7)

2^8 + 154(1^8)

411

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 27(1^6)

3(2^7) + 27(1^7)

2^8 + 155(1^8)

412

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 28(1^6)

3(2^7) + 28(1^7)

2^8 + 156(1^8)

413

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 29(1^6)

3(2^7) + 29(1^7)

2^8 + 157(1^8)

414

^2 + ^2

^3 + ^3

4^4 + 2(3^4)

^5 + ^5

6(2^6) + 30(1^6)

3(2^7) + 30(1^7)

2^8 + 158(1^8)

415

^2 + ^2

7^3 + 4^3 + 2^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 31(1^6)

3(2^7) + 31(1^7)

2^8 + 159(1^8)

416

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 32(1^6)

3(2^7) + 32(1^7)

2^8 + 160(1^8)

417

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 33(1^6)

3(2^7) + 33(1^7)

2^8 + 161(1^8)

418

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 34(1^6)

3(2^7) + 34(1^7)

2^8 + 162(1^8)

419

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 35(1^6)

3(2^7) + 35(1^7)

2^8 + 163(1^8)

420

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 36(1^6)

3(2^7) + 36(1^7)

2^8 + 164(1^8)

421

15^2 + 14^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 37(1^6)

3(2^7) + 37(1^7)

2^8 + 165(1^8)

422

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 38(1^6)

3(2^7) + 38(1^7)

2^8 + 166(1^8)

423

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 39(1^6)

3(2^7) + 39(1^7)

2^8 + 167(1^8)

424

18^2 + 10^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 40(1^6)

3(2^7) + 40(1^7)

2^8 + 168(1^8)

425

19^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 41(1^6)

3(2^7) + 41(1^7)

2^8 + 169(1^8)

426

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 42(1^6)

3(2^7) + 42(1^7)

2^8 + 170(1^8)

427

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 43(1^6)

3(2^7) + 43(1^7)

2^8 + 171(1^8)

428

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 44(1^6)

3(2^7) + 44(1^7)

2^8 + 172(1^8)

429

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 45(1^6)

3(2^7) + 45(1^7)

2^8 + 173(1^8)

430

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 46(1^6)

3(2^7) + 46(1^7)

2^8 + 174(1^8)

431

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 47(1^6)

3(2^7) + 47(1^7)

2^8 + 175(1^8)

432

^2 + ^2

2(6^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 48(1^6)

3(2^7) + 48(1^7)

2^8 + 176(1^8)

433

17^2 + 12^2

2(6^3) + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 49(1^6)

3(2^7) + 49(1^7)

2^8 + 177(1^8)

434

^2 + ^2

7^3 + 4^3 + 3^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 50(1^6)

3(2^7) + 50(1^7)

2^8 + 178(1^8)

435

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

3^5 + 6(2^5)

6(2^6) + 51(1^6)

3(2^7) + 51(1^7)

2^8 + 179(1^8)

436

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 52(1^6)

3(2^7) + 52(1^7)

2^8 + 180(1^8)

437

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 53(1^6)

3(2^7) + 53(1^7)

2^8 + 181(1^8)

438

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 54(1^6)

3(2^7) + 54(1^7)

2^8 + 182(1^8)

439

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 55(1^6)

3(2^7) + 55(1^7)

2^8 + 183(1^8)

440

^2 + ^2

2(6^3) + 2^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 56(1^6)

3(2^7) + 56(1^7)

2^8 + 184(1^8)

441

21^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 57(1^6)

3(2^7) + 57(1^7)

2^8 + 185(1^8)

442

19^2 + 9^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 58(1^6)

3(2^7) + 58(1^7)

2^8 + 186(1^8)

443

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 59(1^6)

3(2^7) + 59(1^7)

2^8 + 187(1^8)

444

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 60(1^6)

3(2^7) + 60(1^7)

2^8 + 188(1^8)

445

18^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 61(1^6)

3(2^7) + 61(1^7)

2^8 + 189(1^8)

446

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 62(1^6)

3(2^7) + 62(1^7)

2^8 + 190(1^8)

447

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

6(2^6) + 63(1^6)

3(2^7) + 63(1^7)

2^8 + 191(1^8)

448

^2 + ^2

7(4^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6)

3(2^7) + 64(1^7)

2^8 + 192(1^8)

449

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 1^6

3(2^7) + 65(1^7)

2^8 + 193(1^8)

450

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 2(1^6)

3(2^7) + 66(1^7)

2^8 + 194(1^8)

451

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 3(1^6)

3(2^7) + 67(1^7)

2^8 + 195(1^8)

452

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 4(1^6)

3(2^7) + 68(1^7)

2^8 + 196(1^8)

453

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 5(1^6)

3(2^7) + 69(1^7)

2^8 + 197(1^8)

454

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 6(1^6)

3(2^7) + 70(1^7)

2^8 + 198(1^8)

455

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 7(1^6)

3(2^7) + 71(1^7)

2^8 + 199(1^8)

456

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 8(1^6)

3(2^7) + 72(1^7)

2^8 + 200(1^8)

457

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 9(1^6)

3(2^7) + 73(1^7)

2^8 + 201(1^8)

458

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 10(1^6)

3(2^7) + 74(1^7)

2^8 + 202(1^8)

459

^2 + ^2

2(6^3) + 3^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 11(1^6)

3(2^7) + 75(1^7)

2^8 + 203(1^8)

460

^2 + ^2

2(6^3) + 3^3 + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 12(1^6)

3(2^7) + 76(1^7)

2^8 + 204(1^8)

461

19^2 + 10^2

2(6^3) + 3^3 + 2(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 13(1^6)

3(2^7) + 77(1^7)

2^8 + 205(1^8)

462

^2 + ^2

2(6^3) + 3^3 + 3(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 14(1^6)

3(2^7) + 78(1^7)

2^8 + 206(1^8)

463

^2 + ^2

2(6^3) + 3^3 + 4(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 15(1^6)

3(2^7) + 79(1^7)

2^8 + 207(1^8)

464

20^2 + 8^2

2(6^3) + 3^3 + 5(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 16(1^6)

3(2^7) + 80(1^7)

2^8 + 208(1^8)

465

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 17(1^6)

3(2^7) + 81(1^7)

2^8 + 209(1^8)

466

^2 + ^2

6^3 + 2(5^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 18(1^6)

3(2^7) + 82(1^7)

2^8 + 210(1^8)

467

^2 + ^2

6^3 + 2(5^3) + 1^3

^4 + ^4

3^5 + 7(2^5)

7(2^6) + 19(1^6)

3(2^7) + 83(1^7)

2^8 + 211(1^8)

468

18^2 + 12^2

7^3 + 5^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 20(1^6)

3(2^7) + 84(1^7)

2^8 + 212(1^8)

469

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 21(1^6)

3(2^7) + 85(1^7)

2^8 + 213(1^8)

470

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 2(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 22(1^6)

3(2^7) + 86(1^7)

2^8 + 214(1^8)

471

^2 + ^2

7^3 + 2(4^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 23(1^6)

3(2^7) + 87(1^7)

2^8 + 215(1^8)

472

^2 + ^2

6^3 + 4(4^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 24(1^6)

3(2^7) + 88(1^7)

2^8 + 216(1^8)

473

^2 + ^2

7^3 + 2(4^3) + 2(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 25(1^6)

3(2^7) + 89(1^7)

2^8 + 217(1^8)

474

^2 + ^2

7^3 + 2(4^3) + 3(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 26(1^6)

3(2^7) + 90(1^7)

2^8 + 218(1^8)

475

^2 + ^2

7^3 + 2(4^3) + 4(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 27(1^6)

3(2^7) + 91(1^7)

2^8 + 219(1^8)

476

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 2^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 28(1^6)

3(2^7) + 92(1^7)

2^8 + 220(1^8)

477

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 2^3 + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 29(1^6)

3(2^7) + 93(1^7)

2^8 + 221(1^8)

478

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 2^3 + 2(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 30(1^6)

3(2^7) + 94(1^7)

2^8 + 222(1^8)

479

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 2^3 + 3(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 31(1^6)

3(2^7) + 95(1^7)

2^8 + 223(1^8)

480

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 2^3 + 4(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 32(1^6)

3(2^7) + 96(1^7)

2^8 + 224(1^8)

481

16^2 + 15^2

7^3 + 5^3 + 2^3 + 5(1^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 33(1^6)

3(2^7) + 97(1^7)

2^8 + 225(1^8)

482

19^2 + 11^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 34(1^6)

3(2^7) + 98(1^7)

2^8 + 226(1^8)

483

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 35(1^6)

3(2^7) + 99(1^7)

2^8 + 227(1^8)

484

22^2

7^3 + 5^3 + 2(2^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 36(1^6)

3(2^7) + 100(1^7)

2^8 + 228(1^8)

485

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 2(2^3) + 1^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 37(1^6)

3(2^7) + 101(1^7)

2^8 + 229(1^8)

486

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

2(3^5)

7(2^6) + 38(1^6)

3(2^7) + 102(1^7)

2^8 + 230(1^8)

487

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 39(1^6)

3(2^7) + 103(1^7)

2^8 + 231(1^8)

488

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 40(1^6)

3(2^7) + 104(1^7)

2^8 + 232(1^8)

489

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 41(1^6)

3(2^7) + 105(1^7)

2^8 + 233(1^8)

490

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 42(1^6)

3(2^7) + 106(1^7)

2^8 + 234(1^8)

491

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 43(1^6)

3(2^7) + 107(1^7)

2^8 + 235(1^8)

492

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 44(1^6)

3(2^7) + 108(1^7)

2^8 + 236(1^8)

493

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 45(1^6)

3(2^7) + 109(1^7)

2^8 + 237(1^8)

494

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 46(1^6)

3(2^7) + 110(1^7)

2^8 + 238(1^8)

495

^2 + ^2

7^3 + 5^3 + 3^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 47(1^6)

3(2^7) + 111(1^7)

2^8 + 239(1^8)

496

^2 + ^2

2(6^3) + 4^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 48(1^6)

3(2^7) + 112(1^7)

2^8 + 240(1^8)

497

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 49(1^6)

3(2^7) + 113(1^7)

2^8 + 241(1^8)

498

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 50(1^6)

3(2^7) + 114(1^7)

2^8 + 242(1^8)

499

^2 + ^2

^3 + ^3

4^4 + 3(3^4)

3^5 + 8(2^5)

7(2^6) + 51(1^6)

3(2^7) + 115(1^7)

2^8 + 243(1^8)

500

20^2 + 10^2

4(5^3)

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 52(1^6)

3(2^7) + 116(1^7)

2^8 + 244(1^8)

501

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 53(1^6)

3(2^7) + 117(1^7)

2^8 + 245(1^8)

502

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 54(1^6)

3(2^7) + 118(1^7)

2^8 + 246(1^8)

503

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 55(1^6)

3(2^7) + 119(1^7)

2^8 + 247(1^8)

504

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 56(1^6)

3(2^7) + 120(1^7)

2^8 + 248(1^8)

505

21^2 + 8^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 57(1^6)

3(2^7) + 121(1^7)

2^8 + 249(1^8)

506

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 58(1^6)

3(2^7) + 122(1^7)

2^8 + 250(1^8)

507

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 59(1^6)

3(2^7) + 123(1^7)

2^8 + 251(1^8)

508

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 60(1^6)

3(2^7) + 124(1^7)

2^8 + 252(1^8)

509

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 61(1^6)

3(2^7) + 125(1^7)

2^8 + 253(1^8)

510

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 62(1^6)

3(2^7) + 126(1^7)

2^8 + 254(1^8)

511

^2 + ^2

^3 + ^3

^4 + ^4

^5 + ^5

7(2^6) + 63(1^6)

3(2^7) + 127(1^7)

2^8 + 255(1^8)

512

2(16^2)

8^3

2(4^4)

16(2^5)

8(2^6)

4(2^7)

2(2^8)

2^9

Key

Friedman representations that are also efficient Waring representations.

Narcissistic representations that are also efficient Waring representations (though (0^k)s are technically not allowed in Waring representations. Also, for these we deviate from sorting the powers from largest base to smallest base).

Several sequences from Sloane's Online Encyclopedia of Integer Sequences were very helpful in the compilation of this table. First of all, Sloane's A002804, which tells us what is the maximum number of kth powers needed to sum up to any integer (as of this writing, the sequence is presented as a "presumed" solution to Waring's problem, but I can safely say that these maximums are correct in the small range I've explored).

Then there's Sloane's A004215, which tells us which integers can not be expressed as a sum of fewer than four squares. Every time I came up with a four-square solution for an integer, I checked if that integer was listed in A004215. If it wasn't, that told me "You can do better," and it took a little more searching, but I was able to get such cases down to three squares.

In general, every time I came up with a solution using the maximum number of kth powers, I checked to see if I could find a solution using at least one fewer power. Of course, it's possible that when I came up with solutions that are one less than the maximum, there are much better solutions of even fewer powers. This is most likely with cubes.

Also helpful, Sloane's A007692, which tells us which integers can be expressed as a sum of two squares in two different ways. In the table, only one solution of squaresums is given for each integer, but A007692 helped me make decisions as to which form is more elegant, and therefore which one to include in the table. (However, depending on your browser, if you put your mouse over some cells, a tooltip will come up with the other squaresum expression).

Of course when two solutions use the same number of kth powers it is difficult to say which one is more elegant. In general, I prefer solutions of distinct powers, none of which is 1^k. Perhaps I feel more strongly about not liking 1^k than I feel about not liking repeated bases, which is why I chose 50 = 2(5^2) over 50 = 7^2 + 1^2.

If you come up with a solution for a given integer that you think is more elegant than the one given in the table, even if it's the same number of powers, please e-mail me. If I use it in the table, I will give you credit on this page.

As noted above, the table does not list solutions of the form n(1^k), though for n between 2^k and 3^k the solutions are almost as boring, specifically, 2^k + (n - 2^k)(1^k). It is after 3^k that the solutions get more interesting, but also trickier to find.