15 Dato un grafo, ottenuto tramite il processo appena descritto, per un prezzo r, il problema di identificare una sequenza di aste compatibili è tale che la probabilità di perderle tutte offrendo r è minima, è equivalente al problema del percorso critico [4]. Infatti è il problema di trovare una sequenza in un grafo che minimizzi il prodotto degli indici dei nodi. Nella Figura 2, ad esempio, le migliori sequenze di offerte per i tre prezzi sono indicate come un percorsi nel grafo delle aste. I percorsi migliori sono quelli in cui il prodotto degli indici dei nodi è minimo. È immediato, conoscendo come calcolare la miglior sequenza di offerte per un dato prezzo, disegnare un algoritmo che determini il prezzo minimo che garantisce l'esistenza di una sequenza di licitazioni con probabilità di vittoria superiore al fattore di successo. Questo può essere fatto utilizzando una ricerca sequenziale o binaria sull'insieme dei prezzi consentiti. Prendendo l'esempio della Figura 2, è assumendo che il fattore di successo specificato sia 99%, il valore ottimale dell'offerta è 107, dato che la probabilià di vincere a 108 è uguale solamente al 98%. Il piano delle offerte che verrà adottato dall'agente in questo scenario è, pertanto (109, [ A1, A2, A4, A6]); questo significa che l'agente offrirà fino a 109, in tutte le aste nella sequenza. L'algoritmo per calcolare il piano delle aste è presentato in [6], dove si considera un algoritmo capace di Given a graph obtained through this process for a given price r, the problem of retrieving a sequence of compatible auctions such that the probability of loosing all of them with a bid of r is minimal, is equivalent to the critical path problem [4]. Indeed, the problem is that of finding the path in the graph which minimises the product of the labels of the nodes. In Figure 2 for example, the best sequence of bids for three different prices are depicted as paths in the graph built from the set of auctions. These best paths are those such that the product of the labels of the nodes are minimal. Knowing how to compute the best sequence of bids for a given price, it is straightforward to design an algorithm that retrieves the lowest price such that there exists a sequence of bids with a probability of success greater than the eagerness. This can be done using a sequential or a binary search over the set of allowable bidding prices. Taking the example of Figure 2 and assuming that the eagerness specified by the user is 99%, the optimal bidding price is 109, since at a price of 108 the probability of winning with the best sequence of bids is only equal to 98.9%. The bidding plan adopted that an agent would adopt in this scenario is thus (109, [A1, A2, A4, A6]), meaning that the agent will sequentially bid up to 109 in each of the auctions in the sequence. The algorithm for computing the bidding plan is detailed in [6]. This 19

16 trattare in maniera efficiente con un largo numero di aste. Offerte per sostituti parziali Fin qui abbiamo assunto che l'utente abbia attribuito lo stesso valore a tutti i prodotti nelle aste in cui desideri partecipare. In realtà, è molto frequente che i prodotti messi all'incanto in diverse case d'asta abbiano caratteristiche differenti, anche quando le aste appartengono alla stessa categoria. Per esempio, due aste potrebbero riguardare telefoni cellulari nuovi di una data marca e modello. Tuttavia, in una delle aste, il telefono è vincolato ad un fornitore, mentre nell'altra è libero. Oppure in un'asta, il telefono è venduto con una garanzia di un anno, mentre nell'altra non c'è garanzia. Pertanto, l'utente potrebbe voler pagare di più in una delle aste di quanto farebbe nell'altra, anche se aggiudicarsi l'una o l'altra soddisfa i requisiti dell'utente. Prodotti che vengono considerati sostituibili dall'utente, ma con valori differenti, sono detti sostituti parziali. Esaminiamo due approcci per trattare con i sostituti parziali: differenziazione di prezzo e differenziazione di utilità. Nell'approccio in cui differenzieremo il prezzo, l'utente specifica un prezzo limite per ogni asta rilevante. L'agente utilizzerà questi prezzi limite per calcolare la valutazione relativa tra le aste. Per esempio. se l'utente specifica un prezzo limite di 100$ nell'asta A1, e 80$ nell'asta A2, reference also considers an alternative algorithm capable of efficiently dealing with large sets of auctions. Bidding for partial substitutes Hitherto, we have assumed that a user attaches the same value to all the items in the auctions in which he/she wishes to participate. In reality, it is often the case that items sold in different auctions have different characteristics, even when the auctions belong to the same category. For example, two auctions might both concern new mobile phones of a given brand and model. However, in one of the auctions, the phone is locked to a given network, while in the other it is unlocked. Or in one auction, the phone comes with a 1- year warranty, while in the other there is no warranty. As a result, the user might be willing to pay more in one of the auctions than (s)he would in the other, although winning any of the auctions satisfies his/her requirements. Items that are considered to be substitutable by the user but have different values are said to be partial substitutes. We propose two approaches to deal with partial substitutes: price differentiation and utility differentiation. In the price differentiation approach, the user specifies a limit price for each relevant auction. The agent uses these limit prices to compute relative valuations between the auctions. For example, if the user specifies a limit price of 100 in auction A1, and 80 in auction A2, A2 is said to have a 20

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